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Sumas infinitas y la búsqueda de la belleza

miércoles, 12 de agosto de 2009

El otro día les propuse una manera de demostrar que la suma de los primeros números impares siempre es un cuadrado perfecto. Utilizamos garbanzos, ¿recuerdan?
En matemáticas, muchas veces lo evidente no siempre es lo más fácil. A la hora de enfrentarse a un problema, muchas veces, lo más dificil es seleccionar la herramiente más adecuada. Una vez que esta está elegida (bien elegida, se entiende), la resolución se vuelve trivial.
Hoy les propongo un problema que resolveremos utilizando una herramienta muy habitual pero que la mayor parte de los no aficionados a las matemáticas desconoce: la ralación entre álgebra, geometría y aritmética.
El planteamiento es sencillo: ¿Cuánto vale esta suma infinita?
Lo de sumar cosas infinitas tiene su aquel, y a los matemáticos les encanta. Si quieren intentarlo por sus propios medios dejen de leer y vuelvan dentro de un rato con la solución (es 1/3, por si tienen curiosidad y quieren dejar de leer ya mismo).

Existen métodos para sumar esa serie fácilmente, cualquiera que haya hecho un primer curso de una licenciatura de Ciencias los conoce, pero como este es un blog para gente de letras me voy a ahorrar ese camino.

El primer impulso es la fuerza bruta: convertir todas esas fracciones en numeros decimales y ponerlas en una calculadora (mejor en Excel) a ver que sale. La suma de los cinco primeros es:

0'25+0'0625+0'015625+0'00390625+0,00390625=0,3330078125

si vamos añadiendo fracciones, se observa que los primeros decimales siempre son 3, así que si uno es lo bastante intuitivo, puede aventurar la solución correcta y acertar (1/3=0'333333...)

Pero en matemáticas, como en la justicia la intuición no basta para resolver. Hay que demostrar.
Y además la fuerza bruta puede ser muy eficaz, pero no es nada elegante, y en matemáticas, tan importante como el rigor es la búsqueda de la belleza:

Observen este dibujo:
es un triángulo. Vamos a marcar otro triángulo dentro de él:
el triángulo nos queda dividido en 4 partes iguales (¿a que parece que le hemos puesto un tanga?). Nos quedamos con la central y la pintamos de azul. Ese triangulito azul representa la cuarta parte del triángulo grande.

Vamos a repetir el proceso en el triángulo de arriba:
Ese triángulito azul de arriba representa la cuarta parte de la cuarta parte del triángulo grande, o sea 1/42
Podemos repetir el proceso tantas veces como queramos:
Para hacer la suma solo hay que tener en cuenta que cada tiángulo azul es la cuarta parte del que tiene justo debajo. Por lo tanto la cadena de triangulos azules representa la suma infinita que queremos calcular.
Ahora observen que el triángulo original ha quedado dividido en tres trozos exactamente iguales (los he pintado de colores distintos para distinguirlos), y si los tres trozos son idénticos, entonces cada uno de ellos representa 1/3 del triángulo.

Por lo tanto nuestra suma infinita de fracciones (o de triángulos) es 1/3.
Ya ven , en matemáticas no basta con que las cosas esten correctas, además es importante que sean hermosas. Yo se que para quien tuvo malas experiencias en matemáticas en el colegio, hablar de belleza en un problema es casi una provocación, pero no me negarán que, al menos, es elegante. A mi me parece maravillosa.

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