Cuadrados perfectos y numeros impares (post en 3 capitulos)

CAPITULO 1. La anécdota.
Me comenta Jorge una curiosidad sobre las raices cuadradas de algunos números y su relación con los números impares:
1+3=4. Su raíz cuadrada es 2 (hemos sumado dos números impares)
1+3+5=9. Su raíz cuadrada es 3 (hemos sumado los tres primeros impares)
1+3+5+7=16. Su raíz cuadrada es 4 (hemos sumado los primeros cuatro números impares)
1+3+5+7+9+11+13+15=64. Su raíz cuadrada es 8 (hemos sumado los ocho primeros impares)
etc.

CAPITULO 2. El rollazo teórico.
Esta propiedad de los números es conocida desde tiempos de Tartaglia (s. XVI) e incluso antes:

La suma de los n primeros números impares siempre es n².

o tambien:

1+3+5+...+(2n-1)=n²

Por lo tanto, es lógico que si sumamos 8 numeros impares consecutivos, la raíz cuadrada del resultado sea 8.

Nota: (2n-1) es la forma de representar un número impar cualquiera: si cogemos un número n y lo multiplicamos por 2 obtenemos un número par, y si le restamos 1 lo que nos queda seguro que es impar

CAPITULO 3. La demostración práctica.
Esto tiene una demostración muy sencilla utilizando el conocido metodo de los garbanzos:
Tomemos un humilde garbancito:

1=1²

Vamos a formar un cuadradito añadiendo garbanzos:

1+3=4=2²

fíjense que hemos añadido 3 garbanzos, y por tanto ahora tenemos cuatro garbanzos. 4 es un cuadrado perfecto(2²).
Nota:Los cuadrados perfectos son aquellos números que pueden ponerse en forma de cuadrado usando garbanzos.
Sigamos. Ahora voy a poner más garbanzos para formar otro cuadrado:

1+3+5=9=32

He añadido 5 garbanzos. Ahora mi cuadrado tiene 9 garbanzos (3²)
Siguiente paso: Construir un cuadrado un poco más grande.

1+3+5+7=16=42

He añadido 7 garbanzos. Ahora mi cuadrado tiene 16 garbanzos (4²).
Vamos a hacerlo otra vez. Un cuadrado un poco más grande:

1+3+5+7+9=25=5²

Se puede continuar con este procedimiento hasta conseguir el numero de garbanzos necesario para hacer un cocido, aunque en desde aqui recomendamos encarecidamente dejarlo para tras fechas mas propicias.
Y con esto queda demostrado y explicado el hecho de que al sumar numeros impares, el resultado siempre sea un cuadrado perfecto.

Nota: Si no se dispone de garbanzos, se pueden utilizar lentejas o cualquier otra legumbre, pero les aseguro que somo mejor se entiende esto es usando rodajitas de chorizo. En ese caso se recomienda practicar hasta que se entienda y más allá.